| Définition d'une puissance rationnelle d'un réel strictement positif |
Etant donné un rationnel il existe au moins un couple appartenant à tel que : on dit que est un représentant de
Il n'y a pas unicité d'une telle représentation, (en fait, il en existe une infinité) :
Deux fractions sont des représentants d'un même rationnel si et seulement si
L'idée est d'étendre aux exposants rationnels la notation exponentielle définie jusqu'ici pour les exposants entiers : il s'agit donc de donner un sens à pour
Pour que cette définition ait un intérêt il faut que l'on conserve les règles de calculs sur les exposants.
Pour que cette définition ait un sens il faut qu'elle soit indépendante du représentant choisi pour
Soient des représentants d'un même rationnel montrons l'égalité Boost Red Adidas Solar B42389 Chaussures Crazylight Low 2016
Soit
Adidas B42389 Low Chaussures Red Crazylight Boost 2016 Solar D'après la définition et les propriétés des radicaux, on a :
Crazylight Red Low B42389 Boost 2016 Adidas Chaussures Solar
Or sont deux représentants d'un même rationnel donc
Par conséquent on a bien c'est-à-dire Ce qui justifie la définition suivante :
Définition de pour
Soit un réel strictement positif et un rationnel dont un représentant est
Si est un rationnel strictement positif la définition Boost Low Red B42389 Crazylight 2016 Solar Chaussures Adidas est valable pour
Il reste maintenant à montrer que toutes les règles de calcul des exposants entiers sont vraies pour les exposants rationnels.
Soit des réels strictement positifs et des rationnels.
On a les propriétés suivantes :
De Homme Adidas Survêtement Originals Vestes UznzZE7C
Soit un représentant de un représentant de sont éléments de
D'après la définition, on a
De même
D'où, en utilisant la propriété des radicaux
On en déduit que
Soit un représentant de est élément de
Super Chaussures Vn83439 Chaud Homme Adidas Originals Running Dragon CqCvrAwD'après la définition et la propriété des radicaux on a
D'où, en utilisant les propriétés des exposants entiers
Donc
La démonstration est quasiment identique à la précédente, elle utilise la propriété des radicaux.
Soit un représentant de est élément de
D'après les propriétés des exposants entiers, on a B42389 Adidas Solar Boost Crazylight Red Low Chaussures 2016
D'où
Soit un représentant de un représentant de sont éléments de
D'après la définition, on a
D'où, en utilisant les propriétés des radicaux
On a donc
Pour la fonction dérivée de la fonction on a trouvé
Avec les exposants rationnels on peut écrire ce résultat sous la forme :
la dérivée de (formule identique à celle trouvée pour la fonction puissance avec un exposant entier)